BELAJAR ALJABAR LINIER

Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan simbol sebagai “pengganti” untuk menandakan konstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.


– Aljabar abstrak, yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok matematika, cincin matematika dan matematika bidang.

– Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks).

– Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar.

– Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis

Persamaan Linear & Matriks


Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
begin{bmatrix} 3 & 4 & -2 & 5\ 1 & -5 & 2 & 7\ 2 & 1 & -3 & 9\ end{bmatrix} 

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , … , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks


[Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\ 0 & -5 & 2 & 7\ 0 & 0 & -3 & 9\ 0 & 0 & -8 & 8\ end{bmatrix} 

syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\ 0 & 1 & 2 & 7\ 0 & 0 & -3 & 9\ 0 & 0 & 0 & 0\ end{bmatrix} 

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 1\ end{bmatrix}   begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 2 & 5\ 0 & 0 & 3 & 0\ 0 & 0 & 0 & 6\ end{bmatrix} 

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\ 1 & 3 & 2 & 9\ 2 & 1 & 2 & 12\ end{bmatrix} 


Operasikan Matriks tersebut

begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\ 0 & 1 & 1 & 3\ 2 & 1 & 2 & 12\ end{bmatrix}                                                                                                                                  Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\ 0 & 1 & 1 & 3\ 0 & -3 & 0 & 0\ end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\ 0 & 1 & 1 & 3\ 0 & 0 & 3 & 9\ end{bmatrix} Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\ 0 & 1 & 1 & 3\ 0 & 0 & 1 & 3\ end{bmatrix} Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Sumber : http://kuzon.wordpress.com/